Решаем задание 24 из тренировочного варианта 162 с сайта alexlarin.net. Это задание по геометрии и оценивается в 2 балла максимум.
Задание 24 ОГЭ математика (вариант 162 Алекс Ларин)
Середины двух соседних сторон и не принадлежащая им вершина ромба соединены друг с другом отрезками прямых. Найдите площадь получившегося треугольника, если сторона ромба равна 4 см, а острый угол равен 60°.
Дано:
ABCD — ромб,
AM = MB,
BN = NC,
острый угол ромба -60°,
сторона ромба — 4см.
__________________
Найти: SMND .
Решение:
Пусть M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Соединим точки M, N и D( вершина, не принадлежащая сторонам AB и BC. Получился треугольник MND, площадь которого нужно найти. Площадь будем искать по формуле Герона:
Для этого найдем длины всех сторон треугольника MND.
<B = 60° — острый угол ромба ABCD.
По определению ромба имеем: AB = BC = CD = AD = 4 см.
Рассмотрим ᐃMBN — равносторонний: MB = BN ( M и N — середины сторон AB и BC ромба ABCD), <B = 60°. Поэтому, MB = BN = MN = 2 см.
Одну сторону ᐃMND нашли — MN = 2 см.
MD = ND(т. к. треугольники AMD и CND равны по двум сторонам и углу между ними: <A =<С = 120°, CD = AD, AM = CN).
Из ᐃAMD найдем MD по теореме косинусов.
MD2 = AM2 + AD2 – 2AM·AD·cos120°,
MD2 = 4 + 16 – 8·2·cos120°,
MD2 = 20 + 16·sin30°,
MD2 = 28,
MD = √28.
Итак, MD = ND = √28 см.
Найдем полупериметр ᐃMND:
p = (2√28 + 2):2 = √28 + 1.
S = √(√28 + 1)(√28 + 1 — √28)(√28 + 1 — √28)(√28 + 1 — 2) = √(√28 + 1)(√28 — 1) = √(28-1) = √27 = 3√3.
Для преобразования выражения под корнем использовали формулы сокращенного умножения — разность квадратов двух выражений.
Ответ: 3√3 см2.
Подобное задание 24 ОГЭ математика из второй части экзамена.
Задание 18 ОГЭ математика (вариант 162 Алекс Ларин)
Высота равностороннего треугольника равна 78√3 . Найдите его периметр.
При решении данной задачи воспользуемся формулами прямоугольного треугольника.
Пусть HC — высота ᐃABC. В равностороннем треугольнике высота является медианой, поэтому AH = HC. Обозначим сторону треугольника за 2x, тогда HC = x.
Рассмотрим ᐃBHC и применим к нему теорему Пифагора.
BC2 = BH2 + CH2
4x2 — x2 = 782·3,
3x2 = 782·3,
x2 = 782,
x = 78.
Каждая сторона равностороннего треугольника равна 156.
Найдем периметр ᐃABC (сумма длин всех сторон): 3·156 = 468.
Ответ: 468.