В геометрической прогрессии сумма

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 84, а сумма второго и третьего членов равна 112. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Это задание из второй части модуля «Алгебра» ОГЭ по математике.

Дано:

(bn) – геометрическая прогрессия,

b1 + b2 = 84, (1)

b2 + b3 = 112. (2)

Найти: b1; b2; b3.

Решение:

Запишем формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1qn-1.

  • b2 = b1q;
  • b3 = b1q2.

Подставим b2 и b3 в 1 и 2 уравнения.

b1 + b1q = 84 и b1q + b1q2 = 112.

В последних уравнениях выразим  b1.

b1 = 84 / (1 + q) и b1 = 112 / (q + q2).

Далее, приравняем правые части уравнений:

84 / (1 + q) = 112 / (q + q2).

Произведем преобразования при q  ≠ — 1.

84q = 112,

q = 112 / 84,

q = 4 / 3 – знаменатель геометрической прогрессии.

b1 = 84 / (1+ q) = 84 / (1 + 4 / 3) = 84 / (7/3) = 84 * 3 / 7 = 12 * 3 = 36 (следует из первой формулы).

Находим второй член прогрессии из формулы (1):

b2 = 84 — b1 = 84 – 36 = 48.

Из второй формулы выразим третий член геометрической прогрессии:

b3 = 112 — b2 = 112 – 48 = 64.

Можно b3 найти, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии:

b3 = b1q2 = 36 * (4 / 3)2 =36 * (16 / 9) = 4 * 16 = 64.

Ответ:  36, 48, 64.

Задание 11 модуль «Алгебра»

Решим задачу из первой части, которая оценивается одним баллом.

(bn) – геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен 4,  b2 = 1. Найти сумму первых пяти ее членов.

Дано:

(bn) – геометрическая прогрессия,

q = 4,

b2 = 1.

Найти: S5.

Решение:

1 способ.

Воспользуемся формулами геометрической прогрессии:

  • bn = b1qn-1,
  • Sn = (qn – 1) * b1 / (q – 1).

b1 = b2 : q = 1 / 4.

S5 = (45 – 1) * 1/4 / (4 – 1) = (1024 – 1) / (4 * 3) = 1023 / (4 * 3) = 341: 4 = 85,25.

2 способ.

В данном способе используем определение геометрической прогрессии.

  • b1 = b2 : q = 1 / 4;
  • b2 = 1;
  • b3  = 1 * 4 = 4;
  • b4 = 4 * 4 = 16;
  • b5 = 16 * 4 = 64.

S5 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 =  ¼ + 1 + 4 + 16 + 64 = 85 ¼ = 85,25.

Ответ: 85,25.

Готовимся к экзамену по математике —  вариант 167 Алекс Ларин решение 1 часть Алгебра

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *