Разберем задание 13 (вариант 15) из сборника для подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня 2018 года, автор сборника Ященко И.В.
Решение:
а) Преобразуем исходное тригонометрическое уравнение, используя формулы приведения и периодичность функции синус . Мы знаем, что период синуса равен 2π. 9π/2 = 4π + π/2. Отбрасываем 4π (2 круга). sin(9π/2 + x) = sin(π/2 + x). Далее воспользуемся формулами приведения: название функции синус меняется на косинус (π/2) и π/2 + x — это угол второй четверти, а синус второй четверти больше 0. Поэтому уравнение принимает вид:
После введения замены cosx = t уравнение преобразуется в следующее:
Это уравнение дробно-рациональное, избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на t², не равное 0( так как на нуль делить нельзя).
6t² + t — 7 = 0,
получаем квадратное уравнение и решаем его с помощью формул нахождения корней квадратного уравнения:
D = 169, больше нуля, значит уравнение имеет 2 корня — t1= 1 и t2= -7/6.
Делаем обратную замену: cosx = 1 и cosx = -7/6( не имеет решений, так как -7/6 не принадлежит промежутку [-1;1]). Решаем простейшее тригонометрическое уравнение cosx = 1, это частный случай, решение имеет следующий вид:
x = 2πn, n∈Z.
б) С помощью тригонометрического круга отбираем корни уравнения, принадлежащие промежутку 
Получаем число -2π.
Второй способ отбора корней из промежутка — это решение неравенства с нахождением целых значений n.
-3π ⩽ 2πn ⩽ -π/2, делим все части неравенства на 2π и получаем неравенство -1,5 ⩽ n ⩽ -0,25. Единственное целое решение неравенства: n = -1. Подставляем это значение в общий вид корней нашего уравнения и получаем корень из заданного промежутка x = — 2π.
Ответ: а) x = 2πn, n∈Z; б) — 2π.
