Высота прямоугольной трапеции

Высота прямоугольной трапеции в три раза больше меньшего основания, а большее основание равно 5. Найдите площадь трапеции, если её диагональ является биссектрисой угла при меньшем основании.

Дано: ABCD – прямоугольная трапеция, AB – высота трапеции, AB = 3BC, AD = 5, AC – биссектриса. Найти S трапеции.

Высота прямоугольной трапеции

Так как  AC – биссектриса, то < ACB = < ACD.

У трапеции основания параллельны: BC ∥ AD.

< DAC = < ACB – как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей AB.

△ADC – равнобедренный по признаку равнобедренного треугольник (два угла равны).

По определению равнобедренного треугольника CD = AD = 5.

Обозначим BC = x, AB = 3x.

Сделаем дополнительное построение – опустим высоту CM = 3x.

AM = BC = x, DM = 5 – x.

Высота прямоугольной трапеции

Рассмотрим △CDM – прямоугольный.

По теореме Пифагора имеем:

CD2 = CM2 + MD2,

52 = (3x)2 + (5 – x)2,

9x2 + 25 – 10x + x2 = 25,

10x2 – 10x = 0,

x(x – 1) = 0,

x = 0 или x = 1.

Итак, верхнее основание BC = 1, высота AB = 3.

Найдем площадь трапеции S по формуле: S = AB *  (BC + AD) : 2.

S = 3 * (1 + 5) : 2 = 9.

Ответ: 9.

Добавить комментарий