В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 84, а сумма второго и третьего членов равна 112. Найдите первые три члена этой прогрессии.
Это задание из второй части модуля «Алгебра» ОГЭ по математике.
Дано:
(bn) – геометрическая прогрессия,
b1 + b2 = 84, (1)
b2 + b3 = 112. (2)
Найти: b1; b2; b3.
Решение:
Запишем формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1qn-1.
- b2 = b1q;
- b3 = b1q2.
Подставим b2 и b3 в 1 и 2 уравнения.
b1 + b1q = 84 и b1q + b1q2 = 112.
В последних уравнениях выразим b1.
b1 = 84 / (1 + q) и b1 = 112 / (q + q2).
Далее, приравняем правые части уравнений:
84 / (1 + q) = 112 / (q + q2).
Произведем преобразования при q ≠ — 1.
84q = 112,
q = 112 / 84,
q = 4 / 3 – знаменатель геометрической прогрессии.
b1 = 84 / (1+ q) = 84 / (1 + 4 / 3) = 84 / (7/3) = 84 * 3 / 7 = 12 * 3 = 36 (следует из первой формулы).
Находим второй член прогрессии из формулы (1):
b2 = 84 — b1 = 84 – 36 = 48.
Из второй формулы выразим третий член геометрической прогрессии:
b3 = 112 — b2 = 112 – 48 = 64.
Можно b3 найти, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии:
b3 = b1q2 = 36 * (4 / 3)2 =36 * (16 / 9) = 4 * 16 = 64.
Ответ: 36, 48, 64.
Задание 11 модуль «Алгебра»
Решим задачу из первой части, которая оценивается одним баллом.
(bn) – геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен 4, b2 = 1. Найти сумму первых пяти ее членов.
Дано:
(bn) – геометрическая прогрессия,
q = 4,
b2 = 1.
Найти: S5.
Решение:
1 способ.
Воспользуемся формулами геометрической прогрессии:
- bn = b1qn-1,
- Sn = (qn – 1) * b1 / (q – 1).
b1 = b2 : q = 1 / 4.
S5 = (45 – 1) * 1/4 / (4 – 1) = (1024 – 1) / (4 * 3) = 1023 / (4 * 3) = 341: 4 = 85,25.
2 способ.
В данном способе используем определение геометрической прогрессии.
- b1 = b2 : q = 1 / 4;
- b2 = 1;
- b3 = 1 * 4 = 4;
- b4 = 4 * 4 = 16;
- b5 = 16 * 4 = 64.
S5 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = ¼ + 1 + 4 + 16 + 64 = 85 ¼ = 85,25.
Ответ: 85,25.
Готовимся к экзамену по математике — вариант 167 Алекс Ларин решение 1 часть Алгебра
