Задача 23 (ОГЭ)
Задача из сборника для подготовки к ОГЭ по математике под редакцией Ященко И. В. (2022 год) — вариант 4 № 23.
В равнобедренной трапеции с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке K. Известно, что прямые AB и CF параллельны. Найдите CF, если FK = 4√3.
Решение:
По условию трапеция ABCD — равнобедренная, поэтому AB = CD и углы при основаниях равны.
Пусть биссектриса угла С пересекает основание AD в точке N.
<BAF = <CFK — соответственные углы при AB II CF, секущей AF.
<AFN = <CFK — вертикальные углы.
<BCN = <DNC — накрест лежащие углы при BC II AD, секущей СN.
ΔAFN — равнобедренный по признаку, поэтому AN = FN.
ABCN — параллелограмм по определению. По свойствам параллелограмма имеем:
BC = AN, AB = CN.
По условию AB = CD.
Значит, AB = CD = CN.
Рассмотрим трапецию ABCD.
По свойству углов трапеции:
<A + <B = 180°,
<C + <D = 180°,
<A = <D, <B = <C.
<A + <C = 180°.
<BAF + <NAF = <A.
<NCB + <DNC = <C.
Так как AK и CN — биссектрисы, то <KFC + <KCF = 90°.
ΔFCK — прямоугольный, <K = 90°.
ΔAKD — прямоугольный, <AKD = 90°.
Cумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°.
<KAD + <ADK = 90°.
<ADK = <DCN = <BCN.
Рассмотрим Δ CND.
<C = <N = <D.
Следовательно, Δ CND — равносторонний.
По теореме о сумме углов треугольника имеем: <C = <N = <D = 60°.
Рассмотрим Δ FKC — прямоугольный (<K = 90°).
<C = 60°, FK = 4√3.
Используем определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.
sin<C = FK/CF, CF = FK/sin<C.
CF = 4√3 / sin60° = 4√3 / (√3/2) = 4 * 2 = 8.
Ответ: CF = 8.
